Corso di Analisi Matematica 2 - Ingegneria Informatica e dell'Automazione - A.A. 2017-2018

Docente: Dott. Alessandro Calamai

Lezioni Svolte

Si consiglia di ripassare tutti gli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica 1 e di Algebra lineare e Geometria.

Funzioni di più variabili.

06-03-18
- Presentazione del corso.
- Lo spazio R^n. Norma e distanza. Intorno sferico. Punti di accumulazione, punti isolati.
- Punti interni. Insiemi aperti e chiusi. Frontiera di un insieme.
- Funzioni reali di più variabili reali.
07-03-18
- Dominio, grafico, insiemi di livello. Esempi.
- Definizione di limite per funzioni di più variabili. Limiti direzionali.
- Coordinate polari nel piano e loro utilizzo nel calcolo dei limiti in due variabili.
08-03-18
- Algebra dei limiti. Teoremi dell'unicità del limite, della permanenza del segno, dei carabinieri.
- Continuità per funzioni di più variabili. Continuità delle funzioni combinate.
- Teorema di Weierstrass.
- Derivate parziali (in R^2).
13-03-18
- Derivate parziali. Derivate direzionali.
- Differenziabilità. Piano tangente al grafico.
- Continuità delle funzioni differenziabili (dim).
- Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim). Formula del gradiente.
14-03-18
- Teorema del differenziale totale.
- Derivate parziali di ordine superiore. Funzioni di classe C^n.
- Derivate seconde. Teorema di Schwarz. Matrice hessiana.
- Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim).
- Condizione necessaria del primo ordine per i punti estremanti. Punti critici.
15-03-18 (3 ore)
- Esempi e confronti su continuità, derivabilità e differenziabilità.
- Massimi e minimi assoluti. Esempi ed esercizi.
- Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili.
- Matrici simmetriche e forme quadratiche associate. Segno di una forma quadratica.
- Il caso delle matrici di ordine 2. Caratterizzazione tramite il determinante e la traccia.
- Condizione necessaria del secondo ordine per i punti estremanti.
- Condizione sufficiente del secondo ordine per i punti estremanti.
- Studio della natura dei punti critici.
19-03-18
- Esercitazione Prof. Biagi.

Curve e integrali curvilinei.

20-03-18
- Funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di funzione continua.
- Curve (arco di curva parametrica). Definizione di curva continua, semplice e chiusa.
- Curve regolari. Derivata di una curva: significato geometrico. Retta tangente.
- Curve regolari e generalmente regolari. Esempi di curve.
21-03-18
- Curve in coordinate polari.
- Curve rettificabili. Lunghezza di una curva.
- Teorema di rettificabilità delle curve regolari.
- Unione o concatenazione di due curve. Additività della lunghezza.
22-03-18 (3 ore)
- Cambiamenti di parametro. Curve equivalenti. Orientazione.
- Invarianza della lunghezza (dim).
- Ascissa curvilinea o parametrizzazione naturale. Esempi.
- Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione.
- Invarianza dell'integrale per parametrizzazioni equivalenti e cambi di orientazione (dim).
- Esercizi vari su integrale e lunghezza.
26-03-18
- Esercitazione Prof. Biagi.
27-03-18
- Campi vettoriali nello spazio. Forme differenziali lineari nello spazio.
- Esempio: il differenziale di una funzione reale di più variabili reali.
- Integrale di una forma lungo una curva orientata, o integrale curvilineo di seconda specie.
28-03-18
- Esempi ed esercizi.
- Applicazioni degli integrali curvilinei.
- Calcolo del baricentro di una linea materiale.
- Momento d'inerzia rispetto a un asse fissato di una linea materiale. Esempi.
09-04-18
- Esercitazione Prof. Biagi.
10-04-18
- Forme differenziali lineari in R^n e integrale curvilineo di seconda specie.
- Proprietà dell'integrale.
- Forme esatte. Primitive. Teorema fondamentale (dim).
11-04-18
- Teorema di caratterizzazione delle forme esatte (dim).
12-04-18
- Forme esatte e chiuse in R^2. Forme chiuse in un rettangolo.
- Aperti semplicemente connessi. Teorema di Poincaré.
- Forme esatte e chiuse in R^3.
- Campi vettoriali nello spazio. Forme esatte e campi conservativi. Potenziale. Forme chiuse e campi irrotazionali.
- Esercizi sul calcolo di primitive.
16-04-18
- Esercitazione Prof. Biagi.

Integrali multipli.

17-04-18
- Integrale doppio di una funzione limitata in un rettangolo come limite delle somme di Cauchy-Riemann.
- Integrabilità delle funzioni continue.
- Teorema di Fubini per i rettangoli. Esercizi.
- Insiemi trascurabili. Esempio di una funzione limitata non integrabile (in una variabile).
18-04-18
- Integrale in un insieme limitato. Estensione di una funzione.
- Insiemi semplici e insiemi regolari. Proprietà dell'integrale.
- Formule di riduzione. Esempi.
- Insiemi misurabili e loro area.
19-04-18
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali doppi.
- Coordinate polari nel piano. Esempi ed esercizi.
23-04-18
- Esercitazione Prof. Biagi.
24-04-18
- Integrale triplo. Funzioni limitate in un parallelepipedo. Teorema di Fubini per gli integrali tripli.
- Integrale in un insieme limitato di R^3.
- Integrazione per fili e per strati. Formule di riduzione. Esempi.
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali tripli.
- Coordinate sferiche e coordinate cilindriche nello spazio.
26-04-18
- Esercitazione Prof. Biagi.
02-05-18
- Applicazioni degli integrali tripli al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una corpo solido.
- Esercizi vari.
- Convenzione sull'orientazione dei circuiti nel piano. Domini regolari nel piano. Orientazione positiva del bordo.
03-05-18
- Formula di Gauss-Green (dim).
- Formule dell'area. Teorema della divergenza nel piano (dim).
- Il campo complesso. Proprietà algebriche. Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica.
07-05-18
- Esercitazione Prof. Biagi.

Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui.

08-05-18
- Numeri complessi: forma esponenziale.
- Formule di de Moivre. Potenze e radici n-esime.
- Esempi ed esercizi.
- Funzioni di variabile complessa. Esempi.
- Limiti di funzioni e continuità in campo complesso. Intorni di infinito.
09-05-18
- Funzione esponenziale complessa.
- Formula di Eulero. Funzioni trigonometriche e iperboliche complesse.
- Funzioni inverse e regioni fondamentali.
- Funzione logaritmo principale. Discontinuità della funzione logaritmo.
- Radice quadrata principale. Discontinuità della funzione radice.
- Discontinuità della funzione argomento principale.
10-05-18
- Derivabilità e differenziabilità in campo complesso.
- Condizioni di Cauchy-Riemann (dim).
- Funzioni olomorfe. Olomorfia delle funzioni elementari.
11-05-18
- Prima prova intermedia.
14-05-18
- Esercitazione Prof. Biagi.
15-05-18
- Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate cartesiane e polari.
- Curve regolari e integrali curvilinei in campo complesso. Esempi.
- Primitive in campo complesso.
- Teorema fondamentale (dim).
- Teorema di equivalenza.
16-05-18
- Forme differenziali lineari associate a una funzione complessa.
- Primitive e forme differenziali lineari.
- Funzioni olomorfe e loro primitive.
- Teorema dell'integrale nullo di Cauchy (dim) e sue conseguenze.
- Teorema di omotopia.
- Formula integrale di Cauchy (dim).
17-05-18
- Serie di potenze in campo complesso.
- Teorema di derivazione per serie.
- Funzioni analitiche.
- Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe (dim).
22-05-18
- Proprietà delle funzioni analitiche.
- Zeri di una funzione analitica. Principio di identità (dim).
- Prolungamento analitico. Sviluppi notevoli in serie di Taylor.
- Disuguaglianze di Cauchy (dim). Teorema di Liouville (dim). Teorema fondamentale dell'algebra (dim).
23-05-18
- Singolarità di una funzione analitica.
- Singolarità isolate e loro classificazione.
- Serie bilatera o serie di Laurent.
- Sviluppabilità in serie bilatera. Teorema di Laurent (dim).
- Sviluppi in serie di Laurent.
- Classificazione delle singolarità isolate con le serie di Laurent.
24-05-18
- Definizione di residuo.
- Classificazione delle singolarità isolate con le serie di Laurent e applicazione al calcolo di residui.
- Calcolo dei residui nel caso dei poli.
- Teorema dei residui (dim).
29-05-18
- Lemma del grande cerchio (dim).
- Calcolo di integrali con il metodo dei residui.
30-05-18
- Lemma del piccolo cerchio (dim).
- Lemma di Jordan.
- Esercizi vari.

Equazioni differenziali ordinarie. Trasformate.

31-05-18
- Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine in forma normale. Esempi.
- Definizione di soluzione. Condizione iniziale. Problema di Cauchy.
- Teorema di esistenza e unicità.
- Equazioni a variabili separabili. Tecniche risolutive.
- Equazioni lineari del primo ordine. Formula risolutiva.
- Esercizi vari.
04-06-18
- Esercitazione Prof. Biagi.
05-06-18
- Equazioni differenziali di ordine superiore al primo.
- Equazioni del secondo ordine in forma normale. Definizione di soluzione. Condizioni iniziali.
- Sistema del primo ordine equivalente. Esistenza e unicità della soluzione.
- Equazioni lineari del secondo ordine. Equazione omogenea associata.
- Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un'equazione omogenea. Funzioni linearmente indipendenti.
- Teorema di struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare non omogenea (dim).
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
- Equazioni lineari omogenee: soluzione generale. Polinomio caratteristico. Soluzioni complesse.
- Equazioni lineari non omogenee: soluzioni particolari. Metodo di variazione delle costanti. Esempi.
06-06-18
- Soluzioni particolari. Metodo di somiglianza. Principio di sovrapposizione.
- Esercizi vari.
- Definizione di trasformata di Laplace (TL). Ascissa di convergenza.
- Funzioni di ordine esponenziale.
07-06-18
- Trasformate di funzioni elementari.
- Proprietà algebriche della TL.
- TL della derivata.
- TL ed equazioni differenziali lineari.
11-06-18
- Esercitazione Prof. Biagi.
13-06-18
- Esercitazione di riepilogo.