Corso di Analisi Matematica 2 - Ingegneria Informatica e dell'Automazione - A.A. 2015-2016

Docente: Dott. Alessandro Calamai

Lezioni Svolte

Si consiglia di ripassare tutti gli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica 1 e di Algebra lineare e Geometria.

Funzioni di piu' variabili.

01-03-16
- Presentazione del corso.
- Lo spazio R^n. Norma e distanza. Intorno sferico. Punti di accumulazione, punti isolati.
- Punti interni. Insiemi aperti e chiusi. Frontiera di un insieme.
- Funzioni reali di piu' variabili reali. Dominio, grafico, insiemi di livello. Esempi.
02-03-16
- Definizione di limite per funzioni di piu' variabili.
- Limiti direzionali. Esempi.
- Algebra dei limiti. Teoremi dell'unicita' del limite, della permanenza del segno, dei carabinieri.
- Continuita' per funzioni di piu' variabili. Continuita' delle funzioni combinate.
- Teorema di Weierstrass.
03-03-16
- Derivate parziali (in R^2). Derivate direzionali.
- Differenziabilita'. Piano tangente al grafico. Esempi.
- Teorema del differenziale totale.
08-03-16
- Esempi e confronti su continuita', derivabilita' e differenziabilita'.
- Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim).
- Condizione necessaria del primo ordine per i punti estremanti. Punti critici.
08-03-16
- Esercitazione Prof. Franca.
09-03-16
- Massimi e minimi assoluti.
- Derivate seconde. Teorema di Schwarz.
- Matrice hessiana. Condizione sufficiente del secondo ordine per i punti estremanti. Esempi ed esercizi.

Curve e integrali curvilinei.

10-03-16
- Funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di funzione continua.
- Curve (arco di curva parametrica). Definizione di curva continua, semplice e chiusa.
- Curve regolari. Derivata di una curva: significato geometrico. Retta tangente.
- Esempi di curve. Curve in coordinate polari.
15-03-16
- Curve regolari e generalmente regolari. Esempi.
- Curve rettificabili. Lunghezza di una curva.
- Teorema di rettificabilità delle curve regolari (dim).
- Cambiamenti di parametro. Curve equivalenti. Orientazione. Invarianza della lunghezza.
15-03-16
- Esercitazione Prof. Franca.
16-03-16
- Unione o concatenazione di due curve. Additività della lunghezza.
- Ascissa curvilinea o parametrizzazione naturale. Esempi.
- Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione.
- Invarianza dell'integrale per parametrizzazioni equivalenti e cambi di orientazione (dim).
17-03-16
- Esercizi vari su integrale e lunghezza.
- Applicazioni: calcolo del baricentro di una linea materiale.
- Momento d'inerzia rispetto a un asse fissato di una linea materiale. Esempi.
- Campi vettoriali nello spazio. Forme differenziali lineari nello spazio.
- Esempio: il differenziale di una funzione reale di più variabili reali.
22-03-16
- Forme differenziali lineari in R^n. Esempio: il differenziale di una funzione reale di più variabili reali.
- Integrale di una forma lungo una curva orientata, o integrale curvilineo di seconda specie. Indipendenza dell'integrale dal cammino.
- Forme esatte.
22-03-16
- Esercitazione Prof. Franca.
23-03-16 (3 ore)
- Teorema di caratterizzazione delle forme esatte (dim).
- Forme esatte e chiuse in R^2. Forme chiuse in un rettangolo.
- Aperti semplicemente connessi. Teorema di Poincaré.
- Esercizi sul calcolo di primitive.
06-04-16
- Forme esatte e chiuse in R^3.
- Campi vettoriali nello spazio. Forme esatte e campi conservativi. Potenziale. Forme chiuse e campi irrotazionali.
07-04-16 (1 ora)
- Esercizi di riepilogo sugli integrali curvilinei.

Integrali multipli.

07-04-16 (1 ora)
- Integrale doppio di una funzione limitata in un rettangolo come limite delle somme di Cauchy-Riemann.
- Integrabilità delle funzioni continue.
- Teorema di Fubini per i rettangoli. Esercizi.
12-04-16
- Integrale su un insieme limitato. Estensione di una funzione.
- Insiemi semplici e insiemi regolari. Proprietà dell'integrale.
- Formule di riduzione. Esempi.
- Insiemi trascurabili. Esempio di una funzione limitata non integrabile (in una variabile).
12-04-16
- Esercitazione Prof. Franca.
13-04-16
- Insiemi misurabili e loro area.
- Teorema di integrabilità. Teorema di equivalenza.
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali doppi.
- Coordinate polari nel piano. Esempi ed esercizi.
- Applicazioni degli integrali doppi al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una lamina materiale.
14-04-16
- Integrale triplo. Funzioni limitate in un parallelepipedo. Teorema di Fubini per gli integrali tripli.
- Integrale su un insieme limitato di R^3. Insiemi misurabili e loro volume.
- Integrazione per fili e per strati. Formule di riduzione. Esempi.
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali tripli.
- Coordinate sferiche e coordinate cilindriche nello spazio.
19-04-16
- Applicazioni degli integrali tripli al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una corpo solido.
- Esempi di integrali doppi su insiemi illimitati di R^2 o di funzioni illimitate.
- Esercizi vari.
19-04-16
- Esercitazione Prof. Franca.

Equazioni differenziali ordinarie - Formula di Gauss-Green.

20-04-16
- Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine in forma normale. Esempi.
- Definizione di soluzione. Condizione iniziale. Problema di Cauchy.
- Teorema di esistenza e unicità. Teorema di esistenza.
- Equazioni a variabili separabili. Tecniche risolutive.
21-04-16
- Equazioni lineari del primo ordine. Formula risolutiva.
- Esercizi vari.
- Convenzione sull'orientazione dei circuiti nel piano. Domini regolari nel piano. Orientazione positiva del bordo.
- Formula di Gauss-Green (dim).

Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui.

26-04-16 (3 ore)
- Il campo complesso. Proprietà algebriche. Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica.
- Formule di de Moivre. Potenze e radici n-esime.
- Numeri complessi: forma esponenziale.
- Esempi di funzioni di variabile complessa. Funzione esponenziale complessa.
- Limiti di funzioni e continuità in campo complesso. Intorni di infinito.
- Discontinuità della funzione argomento principale.
- Funzioni inverse e regioni fondamentali. Radice quadrata principale.
- Discontinuità della funzione radice.
- Funzione esponenziale complessa. Funzione logaritmo principale.
- Discontinuità della funzione logaritmo.
27-04-16
- Esponenziale complesso: formula di Eulero.
- Funzioni trigonometriche e iperboliche complesse.
- Derivabilità e differenziabilità in campo complesso.
- Condizioni di Cauchy-Riemann (dim).
28-04-16
- Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate cartesiane e polari.
- Olomorfia delle funzioni elementari.
- Curve regolari e integrali curvilinei in campo complesso. Esempi.
- Forme differenziali lineari associate a una funzione complessa.
03-05-16
- Primitive in campo complesso.
- Primitive e forme differenziali lineari. Teorema di equivalenza.
- Funzioni olomorfe e loro primitive.
- Teorema dell'integrale nullo di Cauchy (dim) e sue conseguenze.
03-05-16
- Esercitazione Prof. Franca.
05-05-16
- Applicazioni del teorema dell'integrale nullo: teorema di omotopia, formule di Fresnel.
- Formula integrale di Cauchy (dim).
10-05-16
- Serie di potenze in campo complesso.
- Teorema di derivazione per serie.
- Funzioni analitiche.
10-05-16
- Esercitazione Prof. Franca.
11-05-16
- Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe (dim).
- Proprietà delle funzioni analitiche.
- Zeri di una funzione analitica. Principio di identità.
- Prolungamento analitico. Sviluppi notevoli in serie di Taylor.
12-05-16
- Singolarità di una funzione analitica.
- Singolarità isolate e loro classificazione.
- Definizione di residuo.
- Calcolo dei residui nel caso dei poli.
- Teorema dei residui (dim).
13-05-16
- Prima prova intermedia.
17-05-16
- Lemma del grande cerchio.
- Calcolo di integrali con il metodo dei residui.
- Lemma del piccolo cerchio.
17-05-16
- Esercitazione Prof. Franca.
18-05-16
- Lemma di Jordan.
- Esercizi vari.
- Serie bilatera o serie di Laurent.
19-05-16
- Sviluppabilità in serie bilatera. Teorema di Laurent.
- Sviluppi in serie di Laurent.
- Classificazione delle singolarità isolate con le serie di Laurent e applicazione al calcolo di residui.

Trasformate di Fourier e di Laplace.

24-05-16
- Richiami sugli integrali impropri.
- Funzioni generalmente continue. Estensione della definizione di integrale improprio. Valore principale.
- Funzioni trasformabili secondo Fourier. Funzioni sommabili.
- Definizione di trasformata di Fourier (TF).
- Linearità e simmetrie della TF.
- Esempi di TF.
24-05-16
- Esercitazioni Prof. Franca (4 ore)
25-05-16
- Serie di Fourier in campo complesso (cenni).
- Continuità della TF. Proprietà asintotiche della TF.
- Formula di inversione e di dualità.
- Proprietà algebriche e differenziali della TF.
- TF della derivata.
26-05-16
- TF della derivata e derivata della TF.
- TF della gaussiana.
- Funzioni a decrescenza rapida e operatore TF su tale spazio (cenni).
- Definizione di trasformata di Laplace (TL). Ascissa di convergenza.
- Esempi di TL.