Corso di Analisi Matematica 2 - Ingegneria Civile e Ambientale - A.A. 2016-2017

Docente: Dott. Alessandro Calamai

Lezioni Svolte

• Si consiglia di ripassare tutti gli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria.

• 28-02-17
  • Presentazione del corso.
  • Lo spazio R^n. Norma e distanza. Intorno sferico. Punti di accumulazione, punti isolati.
  • Punti interni. Insiemi aperti e chiusi. Frontiera di un insieme.
  
  
• 01-03-17
  • Funzioni reali di più variabili reali. Dominio, grafico, insiemi di livello. Esempi.
  • Definizione di limite per funzioni di più variabili. Limiti direzionali.
  
  
• 02-03-17
  • Limiti di successioni in R^n. Successioni convergenti e divergenti.
  • Limiti di funzioni di più variabili. Verifiche di limiti tramite la definizione. Esempi.
  • Coordinate polari nel piano e loro utilizzo nel calcolo dei limiti in due variabili.
  
  
• 07-03-17
  • Algebra dei limiti. Teorema dell'unicità del limite. Teorema della permanenza del segno.
  • Teorema dei carabinieri e sue conseguenze.
  • Continuità per funzioni di più variabili. Continuità delle funzioni combinate.
  • Teorema di Weierstrass.
  • Derivate parziali. Derivate direzionali.
  • Differenziabilità. Piano tangente al grafico.
  
  
• 08-03-17
  • Continuità delle funzioni differenziabili (dim).
  • Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim).
  • Esempi e confronti su continuità, derivabilità e differenziabilità.
  
  
• 09-03-17
  • Teorema del differenziale totale (dim).
  • Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim).
  • Condizione necessaria del primo ordine per i punti estremanti. Punti critici.
  • Massimi e minimi assoluti.
  
  
• 14-03-17
  • Esempi ed esercizi su differenziabilità e su massimi e minimi assoluti.
  • Derivate parziali di ordine superiore. Funzioni di classe C^n.
  • Derivate seconde. Teorema di Schwarz. Matrice hessiana.
  • Teorema di derivazione delle funzioni composte (dim).
  
  
• 15-03-17
  • Parametrizzazione di un segmento. Aperti connessi (per poligonali) in R^n.
  • Funzioni con gradiente nullo in un connesso.
  • Formula di Taylor al secondo ordine con resto in forma di Peano per funzioni di più variabili (dim).
  
  
• 16-03-17
  • Matrici simmetriche e forme quadratiche associate. Segno di una forma quadratica.
  • Il caso delle matrici di ordine 2. Caratterizzazione tramite il determinante e la traccia.
  • Condizione sufficiente del secondo ordine per i punti estremanti (dim).
  • Condizione necessaria del secondo ordine per i punti estremanti (dim).
  • Studio della natura dei punti critici. Esempi ed esercizi.
  
  
• 21-03-17
  • Esercizi di riepilogo su massimi e minimi relativi e assoluti, derivabilità e differenziabilità.
  • Funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di funzione continua.
  • Derivata di una funzione a valori vettoriali.

• 22-03-17
  • Curve (arco di curva parametrica). Definizione di curva continua, semplice e chiusa.
  • Curve piane. Esempi di curve: coniche, grafici delle funzioni continue. Parametrizzazione delle coniche.
  • Derivata di una curva: significato geometrico. Curve regolari.
  
  
• 23-03-17
  • Curve generalmente regolari. Retta tangente.
  • Integrale definito di una funzione a valori vettoriali. Teorema fondamentale del calcolo.
  • Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilità delle curve regolari (dim).
  • Unione o concatenazione di due curve. Esempi.
  
  
• 28-03-17
  • Cambi di parametro. Curve equivalenti. Cambiamenti di orientazione. Invarianza della lunghezza.
  • Ascissa curvilinea. Proprietà. Versore tangente. Esempi.
  
  
• 29-03-17
  • Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione.
  • Invarianza dell'integrale curvilineo di prima specie per parametrizzazioni equivalenti e cambi di orientazione (dim).
  • Applicazioni dell'integrale curvilineo di prima specie al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una linea materiale (filo). Esercizi.
  • Esempi di curve. Curve in coordinate polari.
  
  
• 30-03-17
  • Curve nello spazio. Curvatura e torsione. Versore tangente, normale e binormale. Triedro fondamentale. Equazioni di Frenet. Esempi.
  • Calcolo del triedro fondamentale e di curvatura e torsione per parametrizzazioni generiche.
  
  
• 04-04-17
  • Calcolo di curvatura e torsione per le curve piane.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 05-04-17
  • Campi vettoriali nello spazio. Lavoro di un campo di forze lungo un cammino orientato. Forme differenziali lineari nello spazio.
  • Forme differenziali lineari in R^n. Esempio: il differenziale di una funzione reale di più variabili reali.
  • Integrale di una forma lungo una curva orientata, o integrale curvilineo di seconda specie. Indipendenza dell'integrale dal cammino.
  
  
• 05-04-17
  • Esercitazione Prof. Dyson.
  
  
• 06-04-17
  • Forme esatte. Primitive. Aperti connessi per archi in R^n.
  • Teorema di caratterizzazione delle forme esatte (dim).
  
  
• 11-04-17
  • Forme esatte e chiuse in R^2. Forme chiuse in un rettangolo.
  • Aperti semplicemente connessi. Teorema di Poincaré.
  • Calcolo di primitive. Esempi ed esercizi.
  
  
• 12-04-17
  • Forme in R^3 e campi vettoriali. Forme esatte e campi conservativi. Potenziale. Forme chiuse e campi irrotazionali.
  • Calcolo di primitive. Calcolo di integrali tramite le primitive. Esercizi.

• 26-04-17
  • Funzioni definite implicitamente.
  • Teorema delle funzioni implicite (dim).
  • Punti regolari e punti singolari. Esempi.
  
  
• 27-04-17
  • Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.
  • Esempi ed esercizi.

• 02-05-17
  • Integrale doppio come limite delle somme di Cauchy-Riemann.
  • Integrale doppio di una funzione limitata in un rettangolo. Integrabilità delle funzioni continue.
  • Interpretazione dell'integrale doppio come volume.
  • Formule di riduzione. Teorema di Fubini per i rettangoli.
  • Proprietà dell'integrale.
  
  
• 03-05-17
  • Integrale su un insieme limitato. Insiemi semplici e insiemi regolari.
  • Formule di riduzione. Proprietà dell'integrale.
  • Insiemi misurabili e loro area.
  • Insiemi trascurabili. Esempio di una funzione limitata non integrabile (in una variabile).
  
  
• 03-05-17
  • Esercitazione Prof. Dyson.
  
  
• 09-05-17
  • Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali doppi.
  • Coordinate polari nel piano. Esempi ed esercizi.
  • Applicazioni degli integrali doppi al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una lamina materiale.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 10-05-17
  • Esempi di integrali doppi su insiemi illimitati di R^2.
  • Integrale triplo. Funzioni limitate in un parallelepipedo.
  • Formule di riduzione. Integrazione per fili e per strati.
  • Integrale su un insieme limitato di R^3. Domini regolari di R^3 e loro volume.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 10-05-17
  • Esercitazione Prof. Dyson.
  
  
• 11-05-17
  • Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali tripli.
  • Coordinate sferiche e coordinate cilindriche nello spazio.
  • Applicazioni degli integrali tripli al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di un corpo solido materiale.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 16-05-17
  • Teorema di Jordan. Convenzione sull'orientazione dei circuiti nel piano. Domini regolari nel piano. Orientazione positiva del bordo.
  • Formula di Gauss-Green (dim).
  
  
• 17-05-17
  • Superfici regolari in R^3. Piano tangente. Elemento d'area. Calcolo dell'area di una superficie.
  • Esempi: superfici cartesiane.
  • Integrale di superficie di una funzione continua.
  
  
• 18-05-17
  • Esempi: superfici di rotazione. Teorema di Guldino per il calcolo dell'area di una superficie di rotazione.
  • Applicazioni al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una superficie materiale.
  • Flusso di un campo vettoriale attraverso una curva chiusa.
  • Teorema della divergenza nel piano (dim).
  
  
• 23-05-17
  • Superfici orientate. Orientabilità.
  • Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata.
  • Superfici chiuse. Normale esterna. Teorema di Gauss o della divergenza.
  • Superfici con bordo. Orientazione positiva indotta sul bordo. Teorema di Stokes o del rotore.

• 24-05-17
  • Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine in forma normale. Definizione di soluzione.
  • Equazioni differenziali del primo ordine: integrale generale e integrali particolari.
  • Condizione iniziale. Problema di Cauchy.
  • Teorema di esistenza e unicità.
  • Equazioni a variabili separabili. Tecniche risolutive.
  
  
• 24-05-17
  • Esercitazione Prof. Dyson.
  
  
• 25-05-17
  • Equazioni lineari del primo ordine. Equazione omogenea associata. Formula risolutiva.
  • Equazioni differenziali del primo ordine che si possono ricondurre a lineari oppure a variabili separabili.
  • Equazioni omogenee. Equazioni di Bernoulli.
  • Esercizi vari.
  
  
• 30-05-17
  • Equazioni del secondo ordine in forma normale. Definizione di soluzione. Condizioni iniziali.
  • Equazioni lineari. Teorema di struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare non omogenea (traccia della dim).
  • Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un'equazione omogenea. Funzioni linearmente indipendenti.
  • Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
  • Equazioni lineari omogenee. Integrale generale. Polinomio caratteristico. Esempi.
  • Equazioni omogenee: soluzioni complesse.
  
  
• 31-05-17
  • Equazioni non omogenee: soluzioni particolari.
  • Metodo di somiglianza. Principio di sovrapposizione.
  • Metodo della variazione delle costanti.
  • Esercizi vari.
  
  
• 31-05-17
  • Esercitazione Prof. Dyson.
  
  
• 01-06-17
  • Equazioni di Eulero.
  • Riduzione dell'ordine. Sistemi di equazioni differenziali.
  • Esempio: il modello preda-predatore di Lotka-Volterra.
  • Esercizi vari.
  
  
• 08-06-17
  • Esercizi di riepilogo.