Corso di Analisi Matematica 1 - Ingegneria Edile
- A.A. 2017-2018
Docente: Dott. Alessandro Calamai
Lezioni Svolte
Numeri reali.
-
Si consiglia di ripassare gli argomenti svolti nel precorso
- 26-09-17
- Insiemi numerici.
- Assiomi dei numeri reali: assiomi algebrici e di ordinamento.
- Assioma di completezza. Sezioni ed elemento separatore.
- Irrazionalità di √2 (con dimostrazione).
- Retta reale e funzione ascissa. Distanza.
- Valore assoluto. Intervalli della retta reale.
- 27-09-17
- Proprietà del valore assoluto.
- Equazioni e disequazioni con valore assoluto.
- Piano cartesiano. Distanza.
- Maggiorante e minorante, insieme superiormente ed
inferiormente limitato.
- Massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore.
- 03-10-17
- Esistenza dell'estremo superiore (dim).
- Caratterizzazione di estremo superiore ed inferiore. Esempi.
- 04-10-17
- Numeri naturali e principio di induzione.
- Disuguaglianza di Bernoulli (dim).
- Successioni numeriche.
Successioni numeriche.
- 05-10-17
- Esempi di successioni. Successioni limitate.
- Proprietà definitive di una successione.
- Successioni convergenti e divergenti.
- Limite di successione.
- Successioni irregolari o indeterminate. Esempi.
- 10-10-17
- Teorema di unicità del limite (dim).
- Successioni limitate. Teorema di limitatezza delle
successioni convergenti (dim).
- Prodotto di una successione limitata per una infinitesima.
- 10-10-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 11-10-17
- Successioni monotone.
- Teorema di regolarità delle successioni monotone (dim).
- Limiti notevoli.
- 12-10-17 (3 ore)
- Algebra dei limiti finiti.
- Algebra dei limiti infiniti e forme indeterminate.
- Esercizi.
- 17-10-17
- Teorema della permanenza del segno (dim) e suoi corollari.
- Teorema dei due carabinieri (dim).
- Criterio del rapporto (dim).
- Gerarchia degli infiniti.
- 17-10-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 18-10-17
- Il numero di Nepero. Disuguaglianza di Nepero.
- Limiti notevoli in cui compaiono esponenziale e logaritmo.
- 19-10-17 (3 ore)
- Algebra dei limiti e forme indeterminate esponenziali.
- Limiti notevoli in cui compaiono seno e coseno.
- Esercizi sul calcolo di limiti.
- 24-10-17
- Relazione di asintotico.
- Esercizi di riepilogo.
- Funzioni. Dominio, codominio, immagine, retroimmagine e grafico.
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Si consiglia di svolgere la prima scheda di teoria
Funzioni reali, limiti e continuità.
- 25-10-17
- Funzioni reali di variabile reale. Dominio naturale.
- Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva.
- Funzione identità. Composizione di funzioni. Funzione inversa.
- Funzioni monotone. Iniettività delle funzioni strettamente monotone.
- Monotonia delle funzioni elementari.
- Funzioni elementari e loro inverse. Funzioni potenza con esponente
intero e frazionario.
- 26-10-17
- Funzioni potenza con esponente reale.
- Funzione esponenziale e logaritmo.
- Funzioni trigonometriche e loro inverse.
- Funzioni combinate (somma, prodotto, quoziente e
composizione).
- Trasformazioni del grafico di una funzione: traslazioni,
simmetrie, omotetie.
- 31-10-17
- Limiti di funzioni. Definizione di limite.
- Intorno e intorno forato. Punto di accumulazione.
- Limiti finiti e infiniti. Asintoti.
- Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni.
- Algebra dei limiti e forme indeterminate.
- Limiti notevoli.
- 31-10-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 02-11-17
- Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di
funzioni (dim).
- Intorno destro e sinistro. Limite destro e sinistro.
- Limite per eccesso e per difetto.
- Intorni di infinito.
- Definizione generale (topologica) di limite di funzioni tramite gli intorni.
- 07-11-17
- Teorema di unicità del limite (dim).
- Teorema della permanenza del segno (dim).
- Teorema dei due carabinieri (dim).
- Teorema sul limite delle funzioni composte (dim).
- Cambiamento di variabili nei limiti di funzioni.
- Funzioni asintotiche e proprietà elementari.
- Funzioni trascurabili. Simboli di Landau ("o piccolo") e
proprietà elementari.
- Ordine di infinitesimo.
- 07-11-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
-
Si consiglia di svolgere la seconda scheda di teoria
- 08-11-17
- Funzioni continue. Caratterizzazione sequenziale della continuità.
- Continuità delle funzioni elementari.
- Continuità di somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue.
- 09-11-17 (3 ore)
- Classificazione delle discontinuità.
- Estremo superiore ed inferiore.
- Teorema sul limite di funzioni monotone (dim).
- Teorema di esistenza degli zeri (dim).
- Metodo di bisezione e soluzioni approssimate di equazioni
trascendenti.
- Esercizi di riepilogo sui limiti di funzioni.
- 14-11-17
- Esistenza della radice n-esima aritmetica di un numero positivo.
- Funzioni continue in un intervallo.
- Teorema dei valori intermedi (dim).
- Invertibilità e monotonia.
- Teorema sulla continuità della funzione inversa (dim).
- Massimo e minimo assoluto. Punti di massimo e di minimo. Teorema di Weierstrass.
- 14-11-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
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Si consiglia di svolgere la terza scheda di teoria
Funzioni derivabili.
- 15-11-17
- Definizione di derivata. Interpretazione cinematica e geometrica. Rette secanti e retta tangente.
- Derivabilità delle funzioni elementari.
- Regole di derivazione di somma, prodotto e quoziente di funzioni.
- 16-11-17
- Punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale.
- Regola di derivazione della funzione composta e della funzione inversa.
- 21-11-17
- Massimi e minimi relativi. Punti critici. Teorema di Fermat (dim).
- Teorema di Rolle (dim). Teorema di Lagrange (dim).
- Criterio di monotonia.
- 21-11-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 22-11-17
- Criterio di monotonia e criterio di monotonia stretta.
- Condizione sufficiente per la derivabilità in un punto.
- Risoluzione di equazioni trascendenti. Esempi ed esercizi.
- Teorema di De l'Hopital.
- Derivate successive.
- Funzioni convesse in un intervallo aperto.
- 23-11-17
- Caratterizzazione della convessità per le funzioni derivabili (senza dim.)
- Criterio di convessità per funzioni derivabili due volte (dim).
- Condizione sufficiente per massimi e minimi relativi (dim).
- Studio di funzioni. Esempi ed esercizi.
- 28-11-17
- Polinomio di Taylor e di Mac Laurin.
- Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano.
- Formula di Taylor delle funzioni elementari.
- 28-11-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
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Si consiglia di svolgere la quarta scheda di teoria
Integrale di Riemann. Integrali impropri. Serie numeriche.
- 29-11-17
- Integrale di Riemann di una funzione limitata.
- Partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale superiore e inferiore.
- Funzioni integrabili secondo Riemann e integrale di Riemann.
- Teorema di integrabilità delle funzioni continue (senza dim.)
- Esempio: la funzione di Dirichlet.
- Criterio di integrabilità (dim).
- Proprietà di additività, di linearità e di monotonia dell'integrale.
- Integrale definito.
- 05-12-16
- Teorema di integrabilità delle funzioni monotone (dim).
- Teorema della media integrale (dim).
- Funzione integrale e sue proprietà.
- Teorema di continuità della funzione integrale (dim).
- Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim).
- 05-12-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 06-12-17
- Primitiva di una funzione.
- Teorema di caratterizzazione delle primitive (dim).
- Formula fondamentale del calcolo integrale (dim).
- Integrale indefinito.
- Proprietà di linearità dell'integrale indefinito.
- Integrali immediati.
- 07-12-17
- Integrali riconducibili ad integrali immediati.
- Regola di integrazione per parti.
- Integrale di funzioni razionali.
- Scomposizione in fratti semplici.
- 08-12-17
- Regola di integrazione per sostituzione. Sostituzioni razionalizzanti.
- Integrabilità in senso improprio o generalizzato.
- Integrali impropri su intervalli illimitati.
- Integrali impropri convergenti e divergenti. Esempi.
- 12-12-17
- Integrali impropri su intervalli illimitati. Criteri di convergenza.
- Criterio del confronto.
- Criterio del confronto asintotico.
- Criterio della convergenza assoluta.
- Integrali impropri di funzioni non limitate. Criteri di convergenza.
- Esempi ed esercizi.
- Serie numeriche.
- Somme parziali. Serie convergenti, divergenti e indeterminate.
- 12-12-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 13-12-17
- Serie geometrica.
- Condizione necessaria alla convergenza (dim).
- Serie a termini positivi. Criteri di convergenza (tutti senza
dim.)
- Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico.
- Convergenza della serie armonica generalizzata.
- Criterio del rapporto. Criterio della radice.
- Serie a termini di segno qualunque. Criterio della convergenza assoluta.
- Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz.
- 14-12-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 15-12-17
- Esercitazione Prof.ssa Isernia.
- 19-12-17 (3 ore)
- Esercizi vari sulla convergenza degli integrali impropri e delle serie numeriche.
- Funzioni definite tramite integrali. Funzione
logaritmo. Funzione degli errori.
- Esercizi di riepilogo.
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Si consiglia di svolgere la quinta scheda di teoria