Corso di Analisi Matematica 1 - Ingegneria Edile - A.A. 2016-2017

Docente: Dott. Alessandro Calamai

Lezioni Svolte

• Si consiglia di ripassare gli argomenti svolti nel precorso

• 26-09-16
  • Assiomi dei numeri reali: assiomi algebrici e di ordinamento.
  • Assioma di completezza. Elemento separatore.
  • Retta reale e funzione ascissa. Distanza. Piano cartesiano.
  • Valore assoluto. Intervalli della retta reale.
  
  
• 27-09-16
  • Equazioni e disequazioni con valore assoluto.
  • Maggiorante e minorante, insieme superiormente ed inferiormente limitato.
  • Massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore.
  • Esistenza dell'estremo superiore.
  
  
• 29-09-16
  • Caratterizzazione di estremo superiore ed inferiore. Esempi.
  • Numeri naturali e principio di induzione.
  • Disuguaglianza di Bernoulli (con dimostrazione).

• 03-10-16
  • Successioni numeriche. Limite di successione.
  • Teorema di unicità del limite (dim). Primi esempi di limiti notevoli.
  
  
• 04-10-16
  • Successioni divergenti e successioni regolari.
  • Successioni limitate. Teorema di limitatezza delle successioni convergenti (dim).
  • Prodotto di una successione limitata per una infinitesima.
  
  
• 06-10-16
  • Successioni monotone.
  • Teorema di regolarità delle successioni monotone (dim).
  • Limiti notevoli.
  
  
• 10-10-16
  • Algebra dei limiti finiti.
  • Algebra dei limiti infiniti e forme indeterminate.
  
  
• 11-10-16
  • Teorema della permanenza del segno (dim) e suoi corollari.
  • Teorema dei due carabinieri (dim).
  • Limiti notevoli in cui compaiono seno e coseno.
  
  
• 13-10-16
  • Limiti notevoli in cui compaiono seno e coseno.
  • Il numero di Nepero. Disuguaglianza di Nepero.
  
  
• 17-10-16
  • Limiti notevoli in cui compaiono esponenziale e logaritmo.
  • Algebra dei limiti e forme indeterminate esponenziali.
  
  
• 18-10-16
  • Criterio del rapporto e gerarchia degli infiniti.
  • Esercizi su limiti notevoli e gerarchia degli infiniti.
  
  
• 20-10-16
  • Confronto tra infiniti e tra infinitesimi.
  • Relazione di asintotico.
  • Esercizi di riepilogo.
  
  
• 20-10-16
  • Esercitazione Prof.ssa Callari.

• Si consiglia di svolgere la prima scheda di teoria

• 24-10-16
  • Funzioni. Dominio, codominio, immagine, retroimmagine e grafico.
  • Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva.
  • Funzione identità. Composizione di funzioni. Funzione inversa.
  • Funzioni reali di variabile reale. Dominio naturale.
  • Funzioni elementari e loro inverse.
  
  
• 25-10-16
  • Funzioni monotone. Iniettività delle funzioni strettamente monotone.
  • Monotonia delle funzioni elementari.
  • Disequazioni di vario tipo: fratte, irrazionali, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche.
  
  
• 27-10-16
  • Limiti di funzioni. Definizione di limite.
  • Limiti finiti e infiniti. Limite destro e sinistro. Asintoti.
  • Intorno e intorno forato. Intorno destro e sinistro.
  • Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni.
  • Limiti notevoli.
  
  
• 03-11-16
  • Intorno e intorno forato. Punto di accumulazione.
  • Definizione generale (topologica) di limite di funzioni tramite gli intorni.
  • Teorema di unicità del limite (dim).
  • Algebra dei limiti e forme indeterminate.
  • Teorema della permanenza del segno (dim).
  • Teorema dei due carabinieri (dim).
  
  
• 03-11-16
  • Esercitazione Prof.ssa Callari.
  
  
• 07-11-16
  • Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni (dim).
  • Teorema sul limite delle funzioni composte (dim).
  • Cambiamento di variabili nei limiti di funzioni.
  • Funzioni asintotiche e proprietà elementari.
  • Funzioni trascurabili. Simboli di Landau ("o piccolo") e proprietà elementari.
  
  
• 08-11-16
  • Ordine di infinitesimo.
  • Esercizi di riepilogo.

• Si consiglia di svolgere la seconda scheda di teoria

• 10-11-16
  • Funzioni continue. Caratterizzazione sequenziale della continuità.
  • Continuità delle funzioni elementari.
  • Continuità di somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue.
  • Classificazione delle discontinuità.
  • Estremo superiore ed inferiore. Massimo e minimo assoluto.
  • Teorema sul limite di funzioni monotone (dim).
  
  
• 10-11-16
  • Esercitazione Prof.ssa Callari.
  
  
• 14-11-16
  • Teorema di esistenza degli zeri (dim).
  • Metodo di bisezione e soluzioni approssimate di equazioni trascendenti.
  • Esistenza della radice n-esima aritmetica di un numero positivo.
  • Funzioni continue in un intervallo.
  • Teorema dei valori intermedi (dim).
  • Invertibilità e monotonia.
  • Teorema sulla continuità della funzione inversa.
  
  
• 15-11-16 (1 ora)
  • Massimi e minimi, punti di massimo e di minimo. Teorema di Weierstrass.

• Si consiglia di svolgere la terza scheda di teoria

• 15-11-16 (2 ore)
  • Definizione di derivata. Interpretazione cinematica e geometrica. Rette secanti e retta tangente.
  • Derivabilità delle funzioni elementari.
  • Regole di derivazione di somma, prodotto e quoziente di funzioni.
  
  
• 17-11-16
  • Regola di derivazione della funzione composta e della funzione inversa.
  • Punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale.
  • Massimi e minimi relativi. Punti critici. Teorema di Fermat (dim).
  
  
• 17-11-16
  • Esercitazione Prof.ssa Callari.
  
  
• 21-11-16
  • Teorema di Rolle (dim). Teorema di Lagrange (dim).
  • Criterio di monotonia e criterio di monotonia stretta.
  
  
• 22-11-16
  • Condizione sufficiente per la derivabilità in un punto.
  • Risoluzione di equazioni trascendenti. Esempi ed esercizi.
  
  
• 24-11-16
  • Derivate successive.
  • Funzioni convesse in un intervallo aperto.
  • Caratterizzazione della convessità per le funzioni derivabili (senza dim.)
  • Criterio di convessità per funzioni derivabili due volte (dim).
  • Condizione sufficiente per massimi e minimi relativi (dim).
  • Studio di funzioni. Esempi ed esercizi.
  
  
• 24-11-16
  • Esercitazione Prof.ssa Callari.
  
  
• 29-11-16 (3 ore)
  • Teorema di De l'Hopital.
  • Polinomio di Taylor e di Mac Laurin.
  • Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano.
  • Formula di Taylor delle funzioni elementari.
  • Esempi ed esercizi.

• Si consiglia di svolgere la quarta scheda di teoria

• 01-12-16
  • Integrale di Riemann di una funzione limitata.
  • Partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale superiore e inferiore.
  • Funzioni integrabili secondo Riemann e integrale di Riemann.
  • Esempio: la funzione di Dirichlet.
  • Criterio di integrabilità (dim).
  
  
• 01-12-16
  • Esercitazione Prof.ssa Callari.
  
  
• 05-12-16
  • Teorema di integrabilità delle funzioni monotone (dim).
  • Teorema di integrabilità delle funzioni continue (senza dim.)
  • Proprietà di additività, di linearità e di monotonia dell'integrale.
  • Integrale definito.
  • Teorema della media integrale (dim).
  • Funzione integrale e sue proprietà.
  • Teorema di continuità della funzione integrale (dim).
  • Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim).
  
  
• 06-12-16
  • Primitiva di una funzione.
  • Teorema di caratterizzazione delle primitive (dim).
  • Formula fondamentale del calcolo integrale (dim).
  • Integrale indefinito.
  • Proprietà di linearità dell'integrale indefinito.
  • Integrali immediati. Integrali riconducibili ad integrali immediati.
  
  
• 06-12-16
  • Esercitazione Prof.ssa Callari.
  
  
• 12-12-16
  • Regola di integrazione per parti.
  • Regola di integrazione per sostituzione.
  • Integrale di funzioni razionali.
  • Scomposizione in fratti semplici.
  
  
• 13-12-16 (3 ore)
  • Esercizi vari sul calcolo di integrali.
  • Regola di cambiamento di variabile negli integrali definiti.
  • Integrabilità in senso improprio o generalizzato.
  • Integrali impropri su intervalli illimitati.
  • Integrali impropri convergenti e divergenti. Esempi.
  • Esercizi di riepilogo.
  
  
• 15-12-16
  • Integrali impropri su intervalli illimitati. Criteri di convergenza.
  • Criterio del confronto.
  • Criterio del confronto asintotico.
  • Criterio della convergenza assoluta.
  • Integrali impropri di funzioni non limitate. Criteri di convergenza.
  • Esempi ed esercizi.
  • Serie numeriche.
  • Somme parziali. Serie convergenti, divergenti e indeterminate.
  • Serie geometrica.
  
  
• 19-12-16
  • Condizione necessaria alla convergenza (dim).
  • Serie a termini positivi. Criteri di convergenza (tutti senza dim.)
  • Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico.
  • Convergenza della serie armonica generalizzata.
  • Criterio del rapporto. Criterio della radice.
  • Serie a termini di segno qualunque. Criterio della convergenza assoluta.
  • Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 20-12-16 (3 ore)
  • Esercizi vari sulla convergenza delle serie numeriche.
  • Esercizi di riepilogo.