Chiara Brambilla - Registro di Geometria

. Chiara Brambilla - Registro di Geometria - CA Corso di Geometria, Ingegneria Civile e Ambientale A.A. 2015-2016

Lezioni Svolte

22-09-15
- Definizione di campo.
- Definizione di spazio vettoriale su un campo K.
23-09-15
- Esempi di spazi vettoriali: R^n, R[t], lo spazio delle matrici, lo spazio vettoriale nullo, lo spazio delle funzioni a valori reali.
- Definizione di sottospazio vettoriale.
- Esempi di sottospazi: le rette per l'origine, il sottospazio Span(v).
24-09-15
- Esempi di sottospazi vettoriali: i piani per l'origine, i polinomi di grado al massimo d, le matrici a traccia nulla, il sottospazio nullo.
- Definizione di combinazione lineare.
- Definizione di sottospazio generato da k vettori: Span(v_1,...,v_k) e sue proprieta'.
- Definizione di sistema di generatori.
- Definizione di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Si consiglia di svolgere la prima scheda d'esercizi.
29-09-15
- Definizione di base di uno spazio vettoriale.
- Esempi di basi: base canonica di R^n, base delle matrici elementari, base dei monomi.
- Teorema delle coordinate. Definizione di coordinate rispetto a una base.
30-09-15
- Insiemi massimali di vettori lin. indipendenti e loro caratterizzazione come basi (Teorema 1 e Teorema 2).
- Esistenza base di uno spazio finitamente generato.
- Teorema del completamento.
1-10-15
- Corollari del teorema del completamento.
- Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale.
- Sottospazi somma e intersezione.
- Teorema di Grassmann
Si consiglia di svolgere la seconda scheda d'esercizi.
6-10-15
- Somma diretta e sottospazi supplementari
- Unicita' della decomposizione rispetto a due sottospazi supplementari
- Esistenza (e non unicita') del supplementare
- Richiami sulla teoria delle funzioni: applicazioni iniettive e suriettive.
- Definizione di applicazione lineare. Definizione di endomorfismo.
6-10-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
7-10-15
- Esempi: applicazione identita', applicazione nulla, traccia di una matrice quadrata.
- Esempi: trasposta di una matrice, derivata di un polinomio.
- Applicazione lineare coordinate F_B.
- Applicazione lineare L_A associata a una matrice A.
- Teorema dell'applicazione lineare.
Si consiglia di svolgere la terza scheda d'esercizi.
8-10-15
- Definizione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
- Nucleo e immagine sono sottospazi.
- Criterio di iniettivita' e suriettivita' per un'applicazione lineare.
- Definizione di rango di una applicazione lineare.
- Generatori dell'immagine di un'applicazione lineare (lemma).
- Rango di una matrice.
- rg(A)=rg(A^T) (senza dimostrazione)
- Teorema della dimensione.
- Corollari del teorema della dimensione.
Si consiglia di svolgere la quarta scheda d'esercizi.
13-10-15
- Sistemi lineari: matrice dei coefficienti e matrice completa.
- Definizione di sistema compatibile e sistema omogeneo.
- Teorema di struttura per i sistemi lineari.
- Definizione di sottospazio affine.
- Teorema di Rouche'-Capelli.
- Definizione di matrice a scala.
13-10-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
14-10-15
- Sistemi a scala. Risoluzione all'indietro.
- Teorema su rango e immagine di una matrice a scala.
- Sistemi equivalenti e operazioni elementari.
- Algoritmo di riduzione a scala (metodo di Gauss).
- Teorema riassuntivo sui sistemi (senza dim).
- Risoluzione di sistemi tramite la riduzione a scala.
15-10-15
- Studio di sistemi con parametro.
- Applicazioni del metodo di riduzione a scala: trovare basi di immagine e nucleo di L_A, trovare vettori linearmente indipendenti, completare a una base.
- Definizione di equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine di R^n.
20-10-15
- Applicazioni del metodo di riduzione a scala: come si passa da equazioni cartesiane a parametriche e viceversa, trovare basi di somma e intersezione.
- Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da V a W.
- Composizione di applicazioni lineari e proprieta'.
- Definizione di applicazione lineare invertibile (o isomorfismo).
Si consiglia di svolgere la quinta scheda di esercizi.
20-10-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
21-10-15
- Caratterizzazione degli isomorfismi.
- Definizione di spazi isomorfi. Essere isomorfi e' relazione di equivalenza.
- L'isomorfismo coordinate tra V e R^n.
- L'isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari tra R^n e R^m e lo spazio delle matrici mxn.
22-10-15
- Definizione del prodotto righe per colonne.
- Proprieta' del prodotto righe per colonne.
- Definizione di matrice invertibile e proprieta' dell'inversa.
- Caratterizzazione delle matrici invertibili (teorema delle 11 equivalenze).
- Calcolo dell'inversa di una matrice (tramite riduzione a scala).
Si consiglia di svolgere la sesta scheda d'esercizi.
27-10-15
- Corollario del teorema delle 11 equivalenze.
- Matrice di cambiamento di base: definizione ed esempi.
- Calcolo della matrice di cambiamento di base tramite una base ausiliaria.
27-10-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
28-10-15
- Matrice associata ad una applicazione lineare da V in W rispetto a basi fissate B e C: definizione.
- L'isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari tra V e W e lo spazio delle matrici mxn.
- Come cambia la matrice associata ad una applicazione lineare al variare delle basi.
- Matrici simili. La similitudine e' relazione di equivalenza.
- Il determinante di una matrice di ordine 2 e le sue proprieta'.
Si consiglia di svolgere la settima scheda.
29-10-15
- Definizione assiomatica del determinante (senza dimostrazione).
- Proprieta' del determinante.
- Sviluppo di Laplace rispetto a una riga o a una colonna. Esempi.
- Legame tra determinante e invertibilita' della matrice.
3-11-15
- Teorema di Binet (senza dimostrazione) e corollari.
- Legame tra rango e determinante. Teorema degli orlati (senza dimostrazione)
- Metodo per calcolare la matrice inversa usando i determinanti.
- Definizione di autovettore, autovalore, spettro, autospazio.
- L'autospazio e' sottospazio vettoriale.
- Interpretazione dell'autospazio come nucleo.
- Legame tra diagonalizzabilita' e base di autovettori.
3-11-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
Si consiglia di svolgere l'ottava scheda.
4-11-15
- Definizione di endomorfismi e matrici diagonalizzabili e triangolabili.
- Definizione di polinomio caratteristico di un endomorfismo.
- Il polinomio caratteristico non dipende dalla base.
- Legame tra polinomio caratteristico e autovalori di T.
- Criterio necessario per la triangolabilita'.
- Criterio necessario per la diagonalizzabilita'.
- Lineare indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti.
- Criterio sufficiente per la diagonalizzabilita'.
5-11-15
- Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
- Relazione tra molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
- Criterio necessario e sufficiente per la diagonalizzabilita' di un endomorfismo. (solo cenno di dimostrazione)
- Esercizio di riepilogo sulla diagonalizzazione.
Si consiglia di svolgere la nona scheda.
10-11-15
- Definizione di forma bilineare simmetrica.
- Definizione di forma degenere e non degenere.
- Definizione di forma definita positiva (negativa), semidefinita positiva (negativa), indefinita.
- Esempi di forme bilineari simmetriche.
- Relazione tra degenericita' e segno di una forma bilineare simmetrica.
10-11-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
11-11-15
- Matrice associata a una forma bilineare.
- Come cambia la matrice al variare della base.
- Matrici congruenti.
- Proprieta' della matrice che rappresenta la forma bilineare (Teorema 1 e 2).
- Criterio per lo studio del segno di una forma bilineare simmetrica (Teorema 3). (senza dimostrazione)
- Regola di Cartesio per calcolare il numero di radici positive, negative e nulle. (senza dimostrazione)
Si consiglia di svolgere la decima scheda.
12-11-15
- Definizione di spazio vettoriale metrico.
- Definizione e proprieta' della norma.
- Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
- Definizione di distanza e angolo. Definizione di vettori ortogonali.
- Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti.
- Basi ortogonali e ortonormali.
17-11-15
- Teorema dei coefficienti di Fourier
- Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione).
- Esercizi sull'ortogonalizzazione.
- Definizione di proiezione ortogonale.
- Proprieta' della proiezione ortogonale.
- Definizione di ortogonale di un sottoinsieme e di supplemento ortogonale di un sottospazio. Relative proprieta'.
Si consiglia di svolgere l'undicesima scheda.
17-11-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
18-11-15
- Definizione di endomorfismo simmetrico in uno spazio metrico.
- Proprieta' della matrice associata a un endomorfismo simmetrico.
- Autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali.
- Lemma: proprieta' degli endomorfismi simmetrici rispetto al sottospazio ortogonale.
- Definizione e proprieta' del prodotto hermitiano canonico su C^n.
19-11-15
- Teorema spettrale.
- Definizione di endomorfismo ortogonale in uno spazio metrico.
- Definizione e proprieta' delle matrici ortogonali.
- Corollari del teorema spettrale.
- Dimostrazione del Teorema 3 (studio del segno di una forma).
- Criterio necessario e sufficiente per la congruenza di due matrici simmetriche. (dimostrazione solo del criterio sufficiente).
Si consiglia di svolgere la dodicesima scheda e la scheda di riepilogo .
24-11-15
- Geometria affine: sistema di riferimento affine.
- Equazioni cartesiane e parametriche di: una retta nel piano, una retta nello spazio, un piano nello spazio.
- Equazioni cartesiane e parametriche di: un fascio di rette nel piano, una stella di rette nello spazio.
- Equazioni cartesiane e parametriche di: una retta per due punti, un piano per tre punti.
- Posizione reciproca di due rette nello spazio.
24-11-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
25-11-15
- Posizione reciproca di una retta e un piano.
- Equazione cartesiana di un fascio di piani per una retta.
- Posizione reciproca di due piani.
- Cambiamento di coordinate affini. Orientazione di un sistema di riferimento.
25-11-15: Esercitazione Prof. Altavilla.
Si consiglia di svolgere la tredicesima scheda.
26-11-15
- Geometria euclidea: sistema di riferimento cartesiano e cambiamento di coordinate cartesiane.
- Versore direttore di una retta.
- Angolo tra rette orientate, proiezione ortogonale di un punto su una retta.
- Versore normale di un piano.
- Angolo tra piani orientati, proiezione ortogonale di un punto su un piano.
- Angolo tra retta e piano.
- Prodotto vettore in R3: definizione e prime proprieta'.
30-11-15
- Proprieta' del prodotto vettore in R3.
- Prodotto misto in R3.
- Distanza tra un punto e una retta
- Distanza tra un punto e un piano.
- Distanze tra due rette sghembe. Esempi di calcolo delle distanze.
Si consiglia di svolgere la quattordicesima scheda.
Per quanto riguarda gli ultimi argomenti (coniche e quadriche) si consiglia di fare riferimento agli appunti.
1-12-15
- Coniche nel piano. Ellisse, iperbole e parabola: definizione come luoghi geometrici ed equazione.
- Equazione matriciale di una conica.
- Forme canoniche metriche e affini delle coniche nel piano.
- Classificazione di una conica.
2-12-15
- Coordinate del centro di una conica a centro.
- Equazione della retta tangente a una conica.
- Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica per una conica.
- Esercizi sulle coniche.
3-12-15
- Quadriche nello spazio: equazione matriciale.
- Quadriche non degeneri: sfera, ellissoide, iperboloidi, paraboloidi.
- Quadriche degeneri: cono, cilindri, coppie di piani.
- Forme canoniche affini delle quadriche.
- Classificazione delle quadriche.
- Piano tangente a una quadrica.
Si consiglia di svolgere la quindicesima scheda.
9-12-15
- Esercizi su classificazione di quadriche.
- Esercizi su quadriche degeneri e sezioni di quadriche.
15-12-15
- Esercizi di riepilogo.
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