Corso di Geometria,  Ingegneria Biomedica    A.A. 2010-2011

Lezioni Svolte

• 28-09-10
  • Definizione di campo
  • Definizione di spazio vettoriale reale
  • Esempi di spazi vettoriali: R^2, R^n, R[t], lo spazio delle matrici, lo spazio delle funzioni a valori reali, lo spazio nullo.
  
  
• 29-09-10
  • Definizione di sottospazio vettoriale
  • Esempi di sottospazi
  • Combinazioni lineari, sottospazio generato da k vettori
  
  
• 5-10-10
  • Definizione di dipendenza lineare e di indipendenza lineare
  • Definizione di base di uno spazio vettoriale
  • Esempi di basi, basi canoniche
  • Coordinate rispetto a una base, teorema delle coordinate
  • Insiemi massimali di generatori lin. indipendenti e loro caratterizzazione come basi
  
  
• 6-10-10
  • Esistenza base di uno spazio finitamente generato
  • Dimostrazione per induzione
  • Teorema del completamento
  • Corollari del teorema del completamento
  • Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale
  • Esercizi di applicazione del teorema del completamento
  
  
• 7-10-10: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
• 12-10-10
  • Sottospazi somma e intersezione
  • Teorema di Grassmann
  • Somma diretta e sottospazi supplementari
  • Unicita' della decomposizione rispetto a due sottospazi supplementari
  • Esistenza (e non unicita') del supplementare
  
  
• 13-10-10
  • Richiami sulla teoria delle funzioni: applicazione iniettiva, suriettiva e biunivoca.
  • Definizione di applicazione lineare
  • Esempi: traccia di una matrice quadrata, trasposta di una matrice
  • Applicazione lineare coordinate,
  • Applicazione lineare associata a una matrice A
  • Esistenza e unicita' dell'applicazione lineare che assume dati valori sui vettori di una base (teorema di struttura delle applicazioni lineari)
  • Definizione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
  • Nucleo e immagine sono sottospazi
  
  
  
• 14-10-10: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
  
• 19-10-10
  • Criterio di iniettivita' e suriettivita' per un'applicazione lineare.
  • Definizione di rango di una applicazione lineare. Generatori di ImT.
  • Rango di una matrice.
  • rg(A)=rg(A^T) (senza dimostrazione)
  • Teorema della dimensione e corollari
  • Sistemi lineari: matrice dei coefficienti e matrice completa
  
  
• 20-10-10
  • Teorema di struttura per i sistemi lineari
  • Definizione di sottospazio affine
  • Teorema di Rouche'-Capelli
  • Matrici e sistemi a scala. Risoluzione all'indietro.
  • Rango e immagine di una matrice a scala.
  • Operazioni elementari del metodo di Gauss.
  • Metodo di Gauss: algoritmo per ridurre a scala una matrice qualsiasi.
  
  
• 21-10-09: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
• 26-10-10
  • Metodo di Gauss: algoritmo per ridurre a scala una matrice qualsiasi.
  • Risoluzione di sistemi qualsiasi tramite la riduzione a scala
  • Studio di sistemi con parametro
  • Tecniche di calcolo: trovare una base, completare a una base
  • Tecniche di calcolo: base di somma e intersezione
  
  
• 27-10-10
  • Tecniche di calcolo: base di immagine e nucleo
  • Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani di R^3.
  • Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R^n
  • Tecniche di calcolo: come si passa da equazioni cartesiane a parametriche e viceversa.
  
  
• 2-11-10
  • Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra V e W
  • Composizione di applicazioni lineari, definizione di isomorfismo.
  • Caratterizzazione degli isomorfismi
  • L'isomorfismo coordinate tra V e R^n
  • L'isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari tra R^n e R^m e lo spazio delle matrici mxn.
  
  
• 3-11-10
  • Definizione del prodotto righe per colonne
  • Proprieta' del prodotto righe per colonne
  • Definizione di matrice invertibile e proprieta' dell'inversa
  • Caratterizzazione delle matrici invertibili
  
  
• 4-11-10: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
• 9-11-10
  • Calcolo dell'inversa di una matrice (tramite riduzione a scala)
  • Definizione della matrice di cambiamento di base
  • Calcolo della matrice di cambiamento di base tramite una base ausiliaria
  
  
• 10-11-10
  • Matrice associata ad una applicazione lineare da V in W rispetto a basi fissate B e C
  • Come cambia la matrice associata ad una applicazione lineare al variare delle basi
  • Matrici simili. La similitudine e' relazione di equivalenza.
  • Il determinante di una matrice di ordine 2
  
  
• 11-11-10: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
• 16-11-10
  • Definizione assiomatica del determinante e teorema di esistenza e unicita' (senza dimostrazione)
  • Proprieta' del determinante
  • Sviluppo di Laplace rispetto a una riga o a una colonna
  • Metodo di Sarrus per matrici di ordine 3
  • Teorema di Binet (senza dimostrazione).
  
  
• 17-11-10
  • Corollari del teorema di Binet e teorema di Cramer.
  • Metodo degli orlati per calcolare il rango di una matrice. (senza dimostrazione)
  • Definizione di autovettore, autovalore, spettro, autospazio.
  • Endomorfismi diagonalizzabili.
  • Il polinomio caratteristico di un endomorfismo.
  
  
• 18-11-10: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
• 23-11-10
  • Proprieta' del polinomio caratteristico.
  • Legame tra polinomio caratteristico e autovalori di T.
  • Endormorfismi triangolabili e criterio necessario per la triangolabilita'.
  • Criterio necessario per la diagonalizzabilita'.
  • Lineare indipendenza di autovalori relativi ad autovalori distinti.
  • Criterio sufficiente per la diagonalizzabilita'.
  • Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore
  • Relazione tra molteplicita' algebrica e molteplicita' geometrica
  
  
• 24-11-10
  • Criterio necessario e sufficiente per la diagonalizzabilita' di un endomorfismo
  • Schema per lo studio della diagonalizzabilita'
  • Esercizi sulla diagonalizzazione
  
  
• 25-11-10: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
• 30-11-10
  • Prodotto scalare canonico in R^n: definizione e proprieta'.
  • Definizione di forma bilineare simmetrica (o prodotto scalare).
  • Definizione di forma degenere e non degenere
  • Definizione di forma definita positiva (negativa), semidefinita positiva (negativa), indefinita.
  • Relazione tra degenericita' e segno di una forma bilineare simmetrica.
  
  
• 1-12-10
  • Definizione di spazio vettoriale metrico, norma.
  • Proprieta' della norma.
  • Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
  • Definizione di distanza e angolo. Definizione di vettori ortogonali.
  • Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti.
  • Basi ortogonali e ortonormali.
  
  
• 2-12-10: Esercitazione prof. D'Orsi.
  
  
• 6-12-10
  • Proprieta' delle basi ortogonali e ortonormali.
  • Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Esempio di applicazione.
  • Esistenza e unicita' della base ortonormale costruita con il procedimento di Gram-Schmidt.
  • Definizione di proiezione ortogonale e sue proprieta'.
  • Definizione di ortogonale di un sottoinsieme e di supplemento ortogonale di un sottospazio. Relative proprieta'.
  
  
• 7-12-10
  • Matrice associata a una forma bilineare.
  • Come cambia la matrice al variare della base.
  • Matrici congruenti.
  • Proprieta' della matrice che rappresenta la forma bilineare.
  • Definizione di endomorfismo simmetrico in uno spazio metrico.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali.
  
  
  
• 14-12-10
  • Definizione e proprieta' del prodotto hermitiano canonico su C^n.
  • Teorema spettrale con dimostrazione.
  
  
• 15-12-10
  • Corollari del teorema spettrale.
  • Definizione di matrice ortogonale e proprieta'.
  • Criterio sufficiente per la congruenza di due matrici simmetriche.
  • Criterio per lo studio del segno di un prodotto scalare.
  • Criterio di Cartesio.
  • Esercizi di riepilogo
  
  
  
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