Corso di Analisi Matematica 2 - Ingegneria Informatica e dell'Automazione - A.A. 2013-2014

Docente: Dott. Alessandro Calamai

Lezioni Svolte

Si consiglia di ripassare tutti gli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica 1 e di Algebra lineare e Geometria.

Funzioni di piu' variabili.

04-03-14
- Presentazione del corso.
- Lo spazio R^n. Norma e distanza. Intorno sferico. Punti di accumulazione, punti isolati.
- Punti interni. Sottoinsiemi aperti e chiusi. Frontiera e chiusura di un insieme.
- Funzioni reali di piu' variabili reali. Dominio, grafico, insiemi di livello. Esempi.
05-03-14
- Definizione di limite per funzioni di piu' variabili.
- Limiti direzionali. Esempi.
- Algebra dei limiti. Teoremi dell'unicita' del limite, della permanenza del segno, dei carabinieri.
06-03-14
- Continuita' per funzioni di piu' variabili. Continuita' delle funzioni combinate.
- Teorema di Weierstrass.
- Derivate parziali. Derivate direzionali. Differenziabilita'. Piano tangente al grafico.
- Teorema del differenziale totale.
10-03-14
- Esercitazione Prof. Franca.
11-03-14
- Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat.
- Condizione necessaria del primo ordine per i punti estremanti. Punti critici.
- Massimi e minimi assoluti.
- Derivate seconde. Teorema di Schwarz.
- Matrice hessiana. Condizione sufficiente del secondo ordine per i punti estremanti. Esempi ed esercizi.

Curve e integrali curvilinei.

12-03-14
- Funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di funzione continua.
- Curve (arco di curva parametrica). Definizione di curva continua, semplice e chiusa. Derivata di una curva: significato geometrico. Retta tangente.
- Curve regolari e generalmente regolari. Esempi.
13-03-14
- Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilità delle curve regolari.
- Cambiamenti di parametro. Curve equivalenti. Orientazione. Invarianza della lunghezza.
- Ascissa curvilinea. Esempi di curve. Curve in coordinate polari.
17-03-14
- Esercitazione Prof. Franca.
18-03-14
- Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione. Invarianza dell'integrale per parametrizzazioni equivalenti e cambi di orientazione.
- Curve nel piano e nello spazio. Curvatura. Versore tangente, normale e binormale. Triedro fondamentale.
- Applicazioni: calcolo del baricentro di una linea materiale. Esempi.
19-03-14
- Campi vettoriali nello spazio. Lavoro di un campo di forze lungo un cammino orientato. Forme differenziali lineari nello spazio.
- Forme differenziali lineari in R^n. Esempio: il differenziale di una funzione reale di più variabili reali.
- Integrale di una forma lungo una curva orientata, o integrale curvilineo di seconda specie. Indipendenza dell'integrale dal cammino.
- Forme esatte. Primitive di una forma in un aperto connesso. Campi conservativi.
20-03-14
- Teorema di caratterizzazione delle forme esatte.
- Forme esatte e chiuse in R^2. Forme chiuse in un rettangolo.
- Aperti semplicemente connessi. Teorema di Poincaré.
24-03-14
- Esercitazione Prof. Franca.
25-03-14
- Forme in R^3 e campi vettoriali. Forme esatte e campi conservativi. Potenziale. Forme chiuse e campi irrotazionali.
- Calcolo di primitive. Calcolo di integrali tramite le primitive. Esercizi.

Integrali multipli.

26-03-14
- Integrali multipli. Integrale doppio di una funzione limitata in un rettangolo. Integrabilità delle funzioni continue.
- Interpretazione dell'integrale doppio come volume. Teorema di Fubini per i rettangoli.
- Integrale su un insieme limitato. Insiemi semplici e insiemi regolari.
27-03-14
- Formule di riduzione. Proprietà dell'integrale.
- Insiemi misurabili e loro area. Insiemi trascurabili.
- Esempio di una funzione limitata non integrabile (in una variabile).
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali doppi.
- Coordinate polari nel piano. Esempi.
01-04-14
- Integrale triplo. Funzioni limitate in un parallelepipedo. Teorema di Fubini per gli integrali tripli.
- Integrale su un insieme limitato di R^3. Insiemi misurabili e loro volume.
- Integrazione per fili e per strati. Formule di riduzione. Esempi.
02-04-14
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali tripli.
- Coordinate sferiche e coordinate cilindriche nello spazio. Esempi.
- Applicazioni varie degli integrali doppi e tripli al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di un corpo solido materiale.
- Teorema di Jordan. Convenzione sull'orientazione dei circuiti nel piano. Domini regolari nel piano. Orientazione positiva del bordo.
- Formula di Gauss-Green (enunciato).

Equazioni differenziali ordinarie.

03-04-14
- Formula di Gauss-Green (dimostrazione).
- Teorema del rotore e teorema della divergenza (cenni).
- Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine in forma normale. Definizione di soluzione.
03-04-14
- Esercitazione Prof. Franca.
04-04-14
- Esercitazione Prof. Franca.
08-04-14
- Equazioni differenziali del primo ordine: integrale generale e integrali particolari.
- Condizione iniziale. Problema di Cauchy. Soluzioni massimali.
- Teorema di esistenza di Peano. Teorema di esistenza e unicità. Equazioni a variabili separabili.
09-04-14
- Equazioni lineari del primo ordine. Formula risolutiva. Esempi.
- Equazioni differenziali di ordine superiore al primo.
- Equazioni del secondo ordine in forma normale. Definizione di soluzione. Condizioni iniziali. Esistenza e unicità di soluzioni massimali.
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Integrale generale. Equazione omogenea associata.
- Teorema di struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare non omogenea.
10-04-14
- Equazioni lineari omogenee. Integrale generale. Polinomio caratteristico. Esempi.
- Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un'equazione omogenea. Funzioni linearmente indipendenti.
- Il campo complesso. Proprietà algebriche. Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica.

Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui.

15-04-14
- Numeri complessi: forma esponenziale.
- Formule di de Moivre. Potenze e radici n-esime. Equazioni in campo complesso.
- Esempi di funzioni di variabile complessa.
- Formula di Eulero. Esponenziale complesso.
- Equazioni differenziali lineari omogenee: soluzioni complesse.
16-04-14
- Limiti di funzioni in campo complesso. Distanza e intorni.
- Insiemi aperti e chiusi, frontiera. Punti di accumulazione.
- Continuità e limiti di funzioni. Intorni di infinito. Sfera di Riemann.
- Funzioni inverse e regioni fondamentali. Radice quadrata principale.
- Discontinuità delle funzioni argomento e radice.
22-04-14
- Funzione esponenziale complessa. Funzione logaritmo principale.
- Discontinuità della funzione logaritmo.
- Funzioni circolari e iperboliche. Potenze in campo complesso.
24-04-14
- Derivabilità e differenziabilità in campo complesso.
- Condizioni di Cauchy-Riemann.
- Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate cartesiane e polari.
- Olomorfia delle funzioni elementari.
24-04-14
- Esercitazione Prof. Franca.
29-04-14
- Curve regolari e integrali curvilinei in campo complesso.
- Primitive di una funzione. Esempi.
30-04-14
- Primitive e forme differenziali lineari.
- Teorema dell'integrale nullo di Cauchy.
- Formula integrale di Cauchy.
06-05-14
- Applicazioni della formula integrale di Cauchy.
- Serie di potenze in campo complesso.
- Teorema di derivazione per serie.
07-05-14
- Funzioni analitiche. Analiticità delle funzioni olomorfe.
- Zeri di una funzione analitica.
- Principio di identità, prolungamento analitico.
08-05-14
- Prolungamento analitico e sviluppi notevoli in serie di Taylor.
- Singolarità isolate e loro classificazione.
- Definizione di residuo.
08-05-14
- Esercitazione Prof. Franca.
09-05-14
- Teorema dei residui.
- Calcolo di integrali con il metodo dei residui.
- Lemma del grande cerchio e del piccolo cerchio.
- Esercizi vari.
13-05-14
- Calcolo di integrali con il metodo dei residui.
- Lemma di Jordan.
- Esercizi vari.
- Serie bilatera o serie di Laurent.
14-05-14
- Sviluppo in serie di Laurent.
- Sviluppabilità in serie bilatera. Teorema di Laurent.
- Classificazione delle singolarità isolate con le serie di Laurent e applicazione al calcolo di residui.

Trasformate di Fourier e di Laplace.

15-05-14
- Funzioni trasformabili secondo Fourier. Funzioni sommabili.
- Definizione di trasformata di Fourier (TF).
- Linearità e simmetria della TF.
- Continuità della TF. Proprietà asintotiche della TF.
- Teorema della convergenza dominata (enunciato).
15-05-14
- Esercitazione Prof. Franca.
17-05-14
- Prima prova intermedia.
20-05-14
- Formula di inversione e di dualità.
- Proprietà algebriche e differenziali della TF.
- TF della derivata e derivata della TF.
21-05-14
- Esempi di TF.
- TF della gaussiana.
- I teoremi di Fubini e Tonelli (enunciato).
- Prodotto di convoluzione e sua TF. Esempi.
22-05-14
- Funzioni a decrescenza rapida e operatore TF su tale spazio. Teorema di Plancherel.
- Definizione di trasformata di Laplace (TL). Primi esempi di TL.
22-05-14
- Esercitazione Prof. Franca.
27-05-14
- Proprietà asintotiche della TL. Derivata della TL.
- Proprietà algebriche e differenziali della TL.
- TL della derivata. Esempi.
28-05-14
- Teorema del valore finale e del valore iniziale.
- Inversione della TL e legame con la trasformata di Fourier.
- Esercizi sull'utilizzo della trasformata di Laplace nelle equazioni differenziali.
- Inversione delle funzioni razionali fratte. Equazioni differenziali con dati discontinui.