Corso di Analisi Matematica 1 - Ingegneria Civile e Ambientale - A.A. 2012-2013

Docente: Dott. Alessandro Calamai

Lezioni Svolte

Numeri reali.

Si consiglia di ripassare gli argomenti svolti nel precorso oppure di consultare la Parte I - Elementi di base del libro di testo.

25-09-12
- Assiomi dei numeri reali: assiomi algebrici e di ordinamento.
- Assioma di completezza. Elemento separatore.
- Valore assoluto. Intervalli della retta reale.
26-09-12
- Retta reale e funzione ascissa. Distanza. Piano cartesiano.
- Maggiorante e minorante, insieme superiormente ed inferiormente limitato, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore.
- Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Proprieta' di Archimede. Teorema di densita' dei numeri razionali (tutti senza dimostrazione).
28-09-12 (lezione svolta dalla Prof. Alessio)
- Numeri naturali e principio di induzione.
- Disuguaglianza di Bernoulli.

Successioni numeriche.

02-10-12
- Caratterizzazione di estremo superiore ed inferiore.
- Successioni numeriche. Limite di successione.
- Teorema di unicita' del limite. Primi esempi di limiti notevoli.
03-10-12
- Successioni limitate e limitatezza delle successioni convergenti.
- Prodotto di una successione limitata per una infinitesima.
- Algebra dei limiti finiti.
05-10-12
- Successioni divergenti e successioni regolari.
- Limiti notevoli.
- Algebra dei limiti infiniti e forme indeterminate.
08-10-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
09-10-12
- Teorema della permanenza del segno e suoi corollari.
- Teorema dei due carabinieri.
- Limiti notevoli in cui compaiono seno e coseno.
10-10-12
- Successioni monotone.
- Teorema di regolarita' delle successioni monotone.
- Il numero di Nepero. Disuguaglianza di Nepero.
12-10-12
- Limiti notevoli in cui compaiono esponenziale e logaritmo.
- Algebra dei limiti e forme indeterminate esponenziali.
- Criterio del rapporto (con dimostrazione, vedi 07-12-12) e gerarchia degli infiniti.
15-10-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
16-10-12
- Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti.
- Relazione di asintotico.
- Esercizi di riepilogo.

Funzioni reali.

17-10-12
- Funzioni. Dominio, codominio, immagine, retroimmagine e grafico.
- Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva.
- Funzione identita'. Composizione di funzioni. Funzione inversa.
- Funzioni reali di variabile reale. Dominio naturale. Funzioni elementari.
- Operazioni tra funzioni: somma, differenza, prodotto, quoziente. Funzione composta.
19-10-12
- Funzioni monotone. Iniettivita' delle funzioni strettamente monotone.
- Inverse delle funzioni elementari.
- Intorno e intorno forato. Punto di accumulazione. Limite di funzioni.
- Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni.
22-10-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
23-10-12
- Limiti finiti e infiniti. Limite destro e sinistro. Asintoti.
- Definizione generale di limite di funzioni tramite gli intorni.
24-10-12
- Teorema di unicita' del limite.
- Algebra dei limiti e forme indeterminate.
- Teorema della permanenza del segno.
- Teorema dei due carabinieri.
- Teorema sul limite delle funzioni composte.
26-10-12
- Cambiamento di variabili nei limiti di funzioni.
- Estremo superiore ed inferiore. Massimo e minimo assoluto.
- Teorema sul limite di funzioni monotone.
- Funzioni asintotiche e proprieta' elementari.
- Funzioni trascurabili. Simboli di Landau ("o piccolo") e proprieta' elementari.
29-10-12
- Ordine di infinitesimo.
- Esercizi di riepilogo.

Funzioni continue.

30-10-12
- Funzioni continue. Caratterizzazione sequenziale della continuita'.
- Continuita' delle funzioni elementari.
- Continuita' di somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue.
- Classificazione delle discontinuita'. Prolungamento per continuita'.
- Teorema di esistenza degli zeri. Metodo di bisezione.
31-10-12
- Metodo di bisezione: calcolo di soluzioni di equazioni trascendenti.
- Esistenza della radice n-esima aritmetica di un numero positivo.
- Funzioni continue in un intervallo.
- Teorema dei valori intermedi. Invertibilita' e monotonia.
- Teorema sulla continuita' della funzione inversa. Inverse delle funzioni elementari.
05-11-12
- Esercitazione Prof. Alessio.

Funzioni derivabili.

06-11-12
- Massimi e minimi, punti di massimo e di minimo. Teorema di Weierstrass.
- Definizione di derivata. Interpretazione cinematica e geometrica. Rette secanti e retta tangente.
08-11-12
- Derivabilita' delle funzioni elementari.
- Regole di derivazione di somma, prodotto e quoziente di funzioni.
- Regola di derivazione della funzione composta e della funzione inversa.
09-11-12
- Punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale.
- Massimi e minimi relativi. Punti critici. Teorema di Fermat.
12-11-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
13-11-12
- Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange.
- Criterio di monotonia e criterio di monotonia stretta.
14-11-12 (3 ore)
- Condizione sufficiente per la derivabilita' in un punto.
- Risoluzione di equazioni trascendenti.
- Studio di funzioni. Esempi ed esercizi.
16-11-12
- Derivate successive.
- Funzioni convesse in un intervallo aperto.
- Caratterizzazione della convessita' per le funzioni derivabili (senza dim.)
- Criterio di convessita' per funzioni derivabili due volte.
- Condizione sufficiente per massimi e minimi relativi.
- Metodo di Newton per l'approssimazione degli zeri di una funzione.
19-11-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
21-11-12 (3 ore)
- Teorema di De l'Hopital.
- Polinomio di Taylor e di Mac Laurin.
- Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano.
- Formula di Taylor delle funzioni elementari.

Integrale di Riemann e Integrali impropri.

22-11-12
- Formula di Taylor: esempi di applicazione.
- Integrale di Riemann. Partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale superiore e inferiore.
- Funzioni integrabili secondo Riemann e integrale di Riemann.
- Esempio: la funzione di Dirichlet.
- Criterio di integrabilita'.
23-11-12
- Criterio di integrabilita'.
- Teorema di integrabilita' delle funzioni monotone.
- Teorema di integrabilita' delle funzioni continue (senza dim.)
- Proprieta' di additivita', di linearita' e di monotonia dell'integrale.
- Teorema della media integrale.
- Integrale definito e funzione integrale.
- Teorema di continuita' della funzione integrale.
26-11-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
28-11-12
- Teorema fondamentale del calcolo integrale.
- Primitiva di una funzione. Teorema di caratterizzazione delle primitive.
- Formula fondamentale del calcolo integrale.
- Integrale indefinito.
- Integrali immediati. Integrali riconducibili ad integrali immediati.
- Proprieta' di linearita' dell'integrale indefinito.
- Regola di integrazione per parti.
29-11-12
- Regola di integrazione per sostituzione.
- Integrale di funzioni razionali.
- Scomposizione in fratti semplici e scomposizione di Hermite.
30-11-12
- Regola di cambiamento di variabile negli integrali definiti.
- Calcolo di aree e lunghezze.
- Integrabilita' in senso improprio o generalizzato.
- Integrali impropri su intervalli illimitati.
- Integrali impropri convergenti e divergenti. Esempi.
- Criterio del confronto.
- Criterio del confronto asintotico.
- Esempi ed esercizi.
03-12-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
04-12-12
- Criterio della convergenza assoluta.
- Integrali impropri su intervalli limitati.
- Integrali impropri convergenti e divergenti. Esempi.
- Criteri di convergenza: confronto, confronto asintotico, convergenza assoluta.

Serie numeriche e Serie di potenze.

05-12-12
- Funzioni definite tramite integrali.
- Studio di funzioni integrali.
- Esempi: funzione logaritmo e funzione degli errori.
- Somme parziali e serie numeriche. Serie convergenti, divergenti e indeterminate.
- Serie geometrica e serie armonica generalizzata.
- Condizione necessaria alla convergenza.
07-12-12
- Serie a termini non negativi. Criterio del confronto integrale.
- Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Esempi.
- Criterio del rapporto per le successioni.
- Criterio del rapporto. Criterio della radice.
- Esempi ed esercizi.
10-12-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
11-12-12
- Serie a termini di segno qualunque. Criterio della convergenza assoluta.
- Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz.
- Esempi ed esercizi.
12-12-12
- Serie di potenze. Insieme di convergenza. Teorema della convergenza in intervalli.
- Raggio di convergenza.
- Teorema sul raggio di convergenza.
- Metodo del rapporto e metodo della radice.
- Serie derivata e integrata. Teorema di derivazione ed integrazione delle serie di potenze.
14-12-12
- Serie di Taylor. Funzioni analitiche o sviluppabili in serie di Taylor. Esempi.
- Condizione necessaria e sufficiente per la sviluppabilita' in serie di Taylor.
- Condizione sufficiente per la sviluppabilita' in serie di Taylor.
- Formula di Taylor di ordine n con resto di Lagrange.
- Sviluppi notevoli in serie di Taylor. Sviluppi di Mac Laurin delle funzioni elementari.
- Esempi ed esercizi.
17-12-12
- Esercitazione Prof. Alessio.
18-12-12
- Esercitazione Prof. Alessio.