Corso di Geometria,  Ingegneria Biomedica    A.A. 2011-2012

Lezioni Svolte

• 27-09-11
  • Definizione di campo.
  • Definizione di spazio vettoriale reale.
  • Esempi di spazi vettoriali: R^2, R^n, R[t], lo spazio delle matrici.
  
  
• 28-09-11
  • Esempi di spazi vettoriali: lo spazio delle funzioni a valori reali, lo spazio nullo.
  • Definizione di sottospazio vettoriale.
  • Esempi di sottospazi: le rette per l'origine, i piani per l'origine, i polinomi di grado al massimo d, le matrici a traccia nulla.
  
  
• Si consiglia di svolgere la prima scheda d'esercizi.
  
• 4-10-10
  • Definizione di combinazioni lineari.
  • Sottospazio generato da k vettori, Span(v_1,...,v_k).
  • Definizione di sistema di generatori.
  • Definizione di dipendenza lineare e di indipendenza lineare
  • Definizione di base di uno spazio vettoriale.
  • Esempi di basi: base canonica di R^n, base delle matrici elementari, base dei monomi.
  
  
• 5-10-11
  • Coordinate rispetto a una base. Teorema delle coordinate.
  • Insiemi massimali di generatori lin. indipendenti e loro caratterizzazione come basi.
  • Esistenza base di uno spazio finitamente generato.
  • Dimostrazione per induzione.
  • Teorema del completamento: prima parte della dimostrazione.
  
  
• Si consiglia di svolgere gli esercizi (a), (b), (d) della seconda scheda.
  
• 11-10-10
  • Teorema del completamento: seconda parte della dimostrazione.
  • Corollari del teorema del completamento.
  • Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale.
  • Esercizi di applicazione del teorema del completamento.
  
  
• 12-10-11
  • Sottospazi somma e intersezione
  • Teorema di Grassmann
  • Somma diretta e sottospazi supplementari
  • Unicita' della decomposizione rispetto a due sottospazi supplementari
  • Esistenza (e non unicita') del supplementare
  
  
• Si consiglia di completare la seconda scheda d'esercizi e di svolgere l'esercizio (a) della terza scheda.
  
• 18-10-11
  • Esempi di non unicita' del supplementare.
  • Richiami sulla teoria delle funzioni: applicazioni iniettive e suriettive.
  • Definizione di applicazione lineare.
  • Esempi: applicazione identita', applicazione nulla, traccia di una matrice quadrata.
  • Applicazione lineare coordinate F_B.
  • Applicazione lineare L_A associata a una matrice A.
  • Applicazione lineare derivata di un polinomio.
  • Teorema dell'applicazione lineare.
  
  
• 19-10-11
  • Definizione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
  • Nucleo e immagine sono sottospazi.
  • Criterio di iniettivita' e suriettivita' per un'applicazione lineare.
  • Generatori dell'immagine di un'applicazione lineare.
  • Definizione di rango di una applicazione lineare.
  • Rango di una matrice. Trasposta di una matrice.
  • rg(A)=rg(A^T) (senza dimostrazione)
  • Teorema della dimensione.
  
  
• Si consiglia di completare la terza scheda d'esercizi.
  
• 26-10-11
  • Corollari del teorema della dimensione.
  • Sistemi lineari: matrice dei coefficienti e matrice completa
  • Teorema di struttura per i sistemi lineari
  • Definizione di sottospazio affine.
  • Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani di R^3.
  • Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R^n.
  
  
• Si consiglia di svolgere la quarta scheda d'esercizi.
  
• 8-11-11
  • Teorema di Rouche'-Capelli.
  • Matrici e sistemi a scala. Risoluzione all'indietro.
  • Rango e immagine di una matrice a scala.
  • Operazioni elementari del metodo di Gauss.
  • Metodo di Gauss: algoritmo per ridurre a scala una matrice qualsiasi.
  
  
• 9-11-11
  • Teorema riassuntivo su sistemi qualsiasi.
  • Risoluzione di sistemi tramite la riduzione a scala.
  • Calcolo di base e dimensione di immagine e nucleo di L_A.
  • Studio di sistemi con parametro.
  
  
• 11-11-11
  • Tecniche di calcolo: trovare una base di Span.
  • Tecniche di calcolo: completare a una base.
  • Tecniche di calcolo: base di somma e intersezione.
  • Tecniche di calcolo: come si passa da equazioni cartesiane a parametriche e viceversa.
  • Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da V a W.
  
  
• Si consiglia di svolgere la quinta scheda di esercizi.
  
• 15-11-11
  • Composizione di applicazioni lineari e proprieta'.
  • Definizione di applicazione lineare invertibile (o isomorfismo).
  • Caratterizzazione degli isomorfismi.
  • Definizione di spazi isomorfi. Essere isomorfi e' relazione di equivalenza.
  • L'isomorfismo coordinate tra V e R^n.
  • L'isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari tra R^n e R^m e lo spazio delle matrici mxn.
  
  
• 16-11-11
  • Definizione del prodotto righe per colonne.
  • Proprieta' del prodotto righe per colonne.
  • Definizione di matrice invertibile e proprieta' dell'inversa.
  • Caratterizzazione delle matrici invertibili (teorema delle 11 equivalenze).
  • Calcolo dell'inversa di una matrice (tramite riduzione a scala).
  
  
• Si consiglia di svolgere la sesta scheda d'esercizi.
  
• 22-11-11
  • Matrice di cambiamento di base: definizione ed esempi.
  • Calcolo della matrice di cambiamento di base tramite una base ausiliaria.
  • Matrice associata ad una applicazione lineare da V in W rispetto a basi fissate B e C: definizione ed esempi.
  
  
• 23-11-11
  • L'isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari tra V e W e lo spazio delle matrici mxn.
  • Come cambia la matrice associata ad una applicazione lineare al variare delle basi.
  • Matrici simili. La similitudine e' relazione di equivalenza.
  • Il determinante di una matrice di ordine 2 e le sue proprieta'.
  • Definizione assiomatica del determinante (senza dimostrazione).
  • Proprieta' del determinante.
  
  
• Si consiglia di svolgere la settima scheda.
  
• 29-11-11
  • Sviluppo di Laplace rispetto a una riga o a una colonna. Esempi.
  • Metodo di Sarrus per matrici di ordine 3.
  • Legame tra determinante e invertibilita' della matrice.
  • Teorema di Binet (senza dimostrazione).
  • Corollari del teorema di Binet (con dimostrazione) e teorema di Cramer (senza dimostrazione).
  • Definizione di autovettore, autovalore, spettro, autospazio.
  • L'autospazio e' sottospazio vettoriale.
  
  
• 30-11-11
  • Interpretazione dell'autospazio come nucleo.
  • Endomorfismi e matrici diagonalizzabili.
  • Il polinomio caratteristico di un endomorfismo e le sue proprieta'.
  • Legame tra polinomio caratteristico e autovalori di T.
  • Criterio necessario per la diagonalizzabilita'.
  • Lineare indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti.
  • Criterio sufficiente per la diagonalizzabilita'.
  
  
• 2-12-11
  • Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
  • Relazione tra molteplicita' algebrica e geometrica.
  • Criterio necessario e sufficiente per la diagonalizzabilita' di un endomorfismo (senza dimostrazione).
  • Schema per lo studio della diagonalizzabilita'.
  • Esercizi sulla diagonalizzazione.
  
  
• Si consiglia di svolgere l' ottava scheda (esclusi gli esercizi (e) e (f) sul "metodo degli orlati") e la nona scheda.
  
• 6-12-11
  • Prodotto scalare canonico in R^n: definizione e proprieta'.
  • Definizione di forma bilineare simmetrica.
  • Definizione di forma degenere e non degenere.
  • Definizione di forma definita positiva (negativa), semidefinita positiva (negativa), indefinita.
  • Relazione tra degenericita' e segno di una forma bilineare simmetrica.
  
  
• 7-12-11
  • Matrice associata a una forma bilineare.
  • Come cambia la matrice al variare della base.
  • Matrici congruenti.
  • Proprieta' della matrice che rappresenta la forma bilineare (Teorema 1 e 2).
  • Criterio necesssario e sufficiente per la congruenza di due matrici simmetriche. (senza dimostrazione).
  • Criterio per lo studio del segno di un prodotto scalare (Teorema 3). (senza dimostrazione)
  • Regola di Cartesio per calcolare il numero di radici positive, negative e nulle.
  
  
• Si consiglia di svolgere la decima scheda e gli esercizi (b) e (c) della dodicesima scheda.
  
• 13-12-11
  • Definizione di spazio vettoriale metrico, norma.
  • Proprieta' della norma.
  • Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
  • Definizione di distanza e angolo. Definizione di vettori ortogonali.
  • Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti.
  • Basi ortogonali e ortonormali.
  • Teorema dei coefficienti di Fourier
  
  
• 14-12-11
  • Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Esempio di applicazione.
  • Definizione di proiezione ortogonale e sue proprieta'.
  • Definizione di ortogonale di un sottoinsieme e di supplemento ortogonale di un sottospazio. Relative proprieta'.
  • Definizione di endomorfismo simmetrico in uno spazio metrico. Proprieta' della matrice associata.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali.
  
  
  
• Si consiglia di svolgere la undicesima scheda.
  
• 19-12-11
  • Teorema spettrale (con dimostrazione, esclusa la dimostrazione del Lemma 2: un endomorfismo simmetrico ammette un autovalore reale)
  • Corollari del teorema spettrale.
  • Definizione di matrice ortogonale e proprieta'.
  • Dimostrazione del criterio sufficiente di congruenza.
  
  
• 20-12-11: Esercizi di riepilogo.
  
  
• Si consiglia di completare la dodicesima scheda e la scheda di riepilogo .
  Per prepararsi all'esame si consiglia di svolgere tutti i temi d'esame proposti nella pagina del materiale didattico.
  
  
  
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